史密斯威尔逊

概述

这个 Python 包实现了 Smith-Wilson 收益率曲线拟合算法。它允许对零息债券利率进行插值和外推。该算法用于在 Solvency II 框架中外推EIOPA 无风险期限结构。详细信息可在技术文件QIS 5 无风险利率中找到。可以在此处找到包括所应用参数的外推收益率曲线示例。

使用方法

1. 安装包pip install smithwilson

2. 要使用 Smith-Wilson 拟合算法，首先导入 Python 包并指定输入。在下面的示例中，输入是直到第 25 年的年度频率的零息票利率。UFR 为 2.9%，收敛参数 alpha 为 0.128562。该terms列表定义了到期列表，在这种情况下[1.0, 2.0, 3.0, ..., 25.0]

   import smithwilson as sw
   
   # Input - Switzerland EIOPA spot rates with LLP of 25 years
   # Source: https://eiopa.europa.eu/Publications/Standards/EIOPA_RFR_20190531.zip
   #         EIOPA_RFR_20190531_Term_Structures.xlsx; Tab: RFR_spot_no_VA
   rates = [-0.00803, -0.00814, -0.00778, -0.00725, -0.00652,
            -0.00565, -0.0048, -0.00391, -0.00313, -0.00214,
            -0.0014, -0.00067, -0.00008, 0.00051, 0.00108,
            0.00157, 0.00197, 0.00228, 0.0025, 0.00264,
            0.00271, 0.00274, 0.0028, 0.00291, 0.00309]
   terms = [float(y + 1) for y in range(len(rates))] # [1.0, 2.0, ..., 25.0]
   ufr = 0.029
   alpha = 0.128562
   

3. 指定目标产出期限。这是您希望得到 Smith-Wilson 拟合费率的一组术语。将一组利率扩展到最后一个流动点之外（例如，以每年的频率外推到 150 年）：

   # Extrapolate to 150 years
   terms_target = [float(y + 1) for y in range(150)] # [1.0, 2.0, ..., 150.0]
   

   或者，您可以检索不同的频率（例如，每季度而不是每年插值）：

   # Interpolate to quarterly granularity
   terms_target = [float(y + 1) / 4 for y in range(25*4)] # [0.25, 0.5, ..., 25.0]
   

   插值和外推的组合也是可能的。对于任意期限的集合也是如此：

   # Get rates for a well-specified set of maturities only
   terms_target = [0.25, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0, 20.0, 50.0, 100.0]
   

4. 调用 Smiwth-Wilson 拟合算法。这将利率作为 numpy 向量返回，每个元素对应于成熟度terms_target

   # Calculate fitted rates based on actual observations and two parametes alpha & UFR
   fitted_rates = sw.fit_smithwilson_rates(rates_obs=rates, t_obs=terms,
                                           t_target=terms_target, ufr=ufr,
                                           alpha=alpha)  # Optional
   

   收敛参数 alpha 是可选的，如果没有提供，将进行估计。该参数决定了收益率曲线向终极远期利率 (UFR) 的收敛速度。该参数是通过找到最小值来估计的，使得收敛成熟时的远期速率与 UFR 之间的差异小于 1bps。

5. 要显示结果和/或处理它们，将它们转换为表格会很有用，这里使用 pandas 库：

   # Ensure pandas package is imported
   import pandas as pd
   
   # ...
   
   # Turn inputs & outputs into dataframe
   observed_df = pd.DataFrame(data=rates, index=terms, columns=["observed"])
   extrapolated_df = pd.DataFrame(data=fitted_rates, index=terms_target, columns=["extrapolated"])
   
   # Combine and print dataframe
   print(observed_df.join(extrapolated_df, how="outer"))
   

一个完整的例子可以在main.py中找到

算法

该算法是完全矢量化的并使用 numpy，因此非常高效。代码在core.py中。

该函数fit_smithwilson_rates()需要以下参数：

• 观察率
• 观察到的到期日
• 目标期限
• 收敛参数 alpha
• 最终远期利率 (UFR)

假设观察到的利率和到期日在最后流动点 (LLP) 之前。目标成熟度向量可以包含任何一组成熟度（例如，更细粒度的成熟度结构（内插）或 LLP 之后的术语（外插））。

Smith-Wilson 拟合算法首先计算 Wilson 矩阵 (EIOPA, 2010, p. 16)：

W = e^(-UFR * (t1 + t2)) * (α * min(t1, t2) - 0.5 * e^(-α * max(t1, t2))
    * (e^(α * min(t1, t2)) - e^(-α * min(t1, t2))))

给定 Wilson-matrix W、UFR 折扣因子μ和价格P的向量 ，参数向量ζ可以计算如下（EIOPA，2010，p.17）：

ζ = W^-1 * (μ - P)

使用 Smith-Wilson 参数ζ和 Wilson-matrix W，零息债券价格可以用矩阵表示法表示为 (EIOPA, 2010, p. 18)：

P = e^(-t * UFR) - W * ζ

在最后一种情况下，t可以是任何成熟度向量，即具有额外的成熟度来推断利率。

来源

EIOPA（2010 年）。QIS 5 技术论文；无风险利率——外推法；第 11 页

EIOPA（2018 年）。得出 EIOPA 无风险利率期限结构的方法的技术文档；p.37-46